Пропорциональные линии в круге

ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЕ  ЛИНИИ   В   КРУГЕ.

8. (199.) Некоторые пропорциональные линии в круге мы указали ранее в § 3 (189); теперь укажем ещё другие.

Теорема. Если через точку (М, черт. 11), взятую внутри круга, проведены какая-нибудь хорда (АВ) и диаметр (CD), то произведение отрезков хорды (AM•MB) равно произведению отрезков диаметра (MD•MC).

Проведя две вспомогательные хорды АС и BD, мы получим два треугольника АМС и MBD (покрытые на чертеже штрихами), которые подобны, так как у них углы А и D равны, как вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу ВС, и углы С и В равны, как вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу AD. Из подобия треугольников выводим:

AM : MD = МС : MB, откуда

AM • MB = MD • МС.

9.   (200.) Следствие.    Если через  точку  (М,   черт.   11),   взятую внутри круга, проведено сколько угодно хорд (АВ, EF, KL, ...), то произведение отрезков каждой хорды есть число постоянное для всех хорд, так как для каждой хорды это произведение равно произведению отрезков диаметра CD, проходящего через взятую точку М.

10.  (201.) Теорема.   Если из точки (М, черт.12), взятой вне круга проведены к нему какая-нибудь   секущая   (МА)  и  касательная (МС), то произведение секущей  на её внешнюю часть равно квадрату касательной (предполагается, что секущая ограничена второй точкой пересечения, а касательная — точкой касания).

Проведём вспомогательные хорды АС и ВС; тогда получим два треугольника MAC и МВС (покрытые на чертеже штрихами), которые подобны, потому что у них угол М общий и углы МСВ и CAB равны, так как каждый из них измеряется половиной дуги ВС. Возьмём в /\  MAC стороны МА и МС; сходственными сторонами в /\  МВС будут МС и МВ; поэтому

МА : МС = МС : MB, откуда

МА • MB =  МС2.

11. (202.) Следствие. Если из точки (М, черт. 12), взятой вне круга, проведены к нему сколько угодно секущих (М A, MD, ME, ...), то произведение каждой секущей на её внешнюю часть есть число постоянное для всех секущих, так как для каждой секущей это произведение равно квадрату касательной (МС2), проведённой из точки М.

 



ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЕ  ЛИНИИ   В   КРУГЕ.

§ 11. Пропорциональные отрезки в круге.

1. Ферма моста ограничена дугой окружности (черт. 13); высота фермы MK= h = 3 м; радиус дуги АМВ пролёта R = 8,5 м. Вычислить длину АВ пролёта моста.


Черт. 13

2. В сводчатом подвале, имеющем форму полуцилиндра, надо поставить две стойки, каждую на одинаковом расстоянии от ближайшей стены. Определить высоту стоек, если ширина подвала по низу равна 4 м, а расстояние между стойками 2 м.

3. 1) Из точки окружности проведён перпендикуляр на диаметр. Определить его длину при следующей длине отрезков диаметра: 1) 12 см и3 см; 2) 16см и 9 см, 3)2 м и 5 дм.

2) Из точки диаметра проведён перпендикуляр до пересечения с окружностью. Определить длину этого перпендикуляра, если диаметр равен 40 см, а проведённый перпендикуляр отстоит от одного из концов диаметра на 8 см.

4. Диаметр разделён на отрезки: АС= 8 дм и СВ=5 м, и из точки С проведён к нему перпендикуляр CD данной длины. Указать положение точки D относительно круга, когда CD равняется: 1) 15 дм; 2) 2 м; 3) 23 дм.

5. АСВ—полуокружность; CD — перпендикуляр на диаметр АВ. Требуется:

1) определить DB, если AD = 25 и CD =10;

2) определить АВ, если AD: DB= 4 : 9 и CD=30;

3) определить  AD,  если CD=3AD,  а радиус равен r;

4) определить AD, если AВ=50 и CD= 15.

6. 1) Перпендикуляр, опущенный из точки окружности на радиус, равный 34 см, делит его в отношении 8:9 (начиная от центра). Определить длину перпендикуляра.

2) Хорда BDC перпендикулярна к радиусу ODA. Определить ВС, если ОA = 25 см и AD=10 см.

3) Ширина кольца, образованного двумя концентрическими окружностями, равна 8 дм; хорда большей окружности, касательная к меньшей, равна 4 м. Определить радиусы окружностей.

7. С помощью сравнения отрезков доказать, что среднее арифметическое двух неравных чисел больше их среднего геометрического.

8. Построить отрезок, средний пропорциональный между отрезками 3 см и 5 см.

9. Построить отрезок, равный: √15; √10; √6; √3.

10. ADB—диаметр; АС—хорда; CD—перпендикуляр к диаметру. Определить хорду АС: 1) если АВ=2 м и AD = 0,5 м; 2) если AD = 4 см и DB = 5 см; 3) если AB=20 м и DB= 15 м.

11. АВ—диаметр; АС—хорда; AD—её проекция на диаметр АВ. Требуется:

1) определить AD, если АB=18 см и АС=12 см;

2) определить радиус, если AС=12 м и AD=4 м;

3) определить DB, если AС=24 см и DB = 7/9 AD.

12. АВ—диаметр; АС—хорда; AD—её проекция на диаметр АВ. Требуется:

1) определить АС, если АВ = 35 см и AC=5AD;

2) определить АС, если радиус равен r и AC=DB.

13. Две хорды пересекаются внутри круга. Отрезки одной хорды равны 24 см и 14 см; один из отрезков другой хорды равен 28 см. Определить второй её отрезок.

14. Мостовая ферма ограничена дугой окружности (черт. 13); длина моста АВ= 6 м, высота А =1,2 м. Определить радиус дуги (OM= R).


Черт. 13

15. Два отрезка АВ и CD пересекаются в точке М так, что МА =7 см, MB=21 см,
МС = 3 см и MD = 16 см. Лежат ли точки А, В, С и D на одной окружности?

16. Длина маятника MA = l = 1 м (черт.14), высота подъёма его, при отклонении на угол α, CA = h= 10 см. Найти расстояние ВС точки В от МА  (ВС = х).


Чет. 14.

17. Для перевода железнодорожного пути шириной b = 1,524 м в месте АВ (черт. 15) сделано закругление; при    этом    оказалось, ; что   BС= а = 42,4   м. Определить   радиус  закругления OA = R.


Черт. 15.

18. Хорда АМВ повёрнута около точки М так, что отрезок МА увеличился  в  2 1/2  раза. Как изменился отрезок MB?

19. 1) Из двух пересекающихся хорд одна разделилась на части в 48 см и 3 см, а другая — пополам. Определить длину второй хорды.

2) Из двух пересекающихся хорд одна разделилась на части в 12 м и 18 м, а другая— в отношении 3:8. Определить длину второй хорды.

20. Из двух пересекающихся хорд первая равна 32 см, а отрезки другой хорды равны
12 см и 16 см. Определить отрезки первой хорды.

21.  Секущая   ABC   повёрнута   около внешней   точки  А   так,  что  внешний   её отрезок АВ уменьшился в три раза. Как изменилась длина секущей?

22. Пусть ADB и AЕС—две прямые, пересекающие окружность: первая —в точках D и В, вторая —в точках E и С. Требуется:

1) определить АЕ, если AD = 5 см, DB=15 см и АС=25 см;

2)определитьBD, если АВ = 24 м, АС= 16 м и ЕС=10м;

3) определить АВ и АС, если АВ+АС=50 м, a AD : AE = 3:7.

23. Радиус окружности равен 7 см. Из точки, удалённой от центра на 9 см, проведена секущая так, что она делится окружностью пополам. Определить длину этой секущей.

24. МАВ и MCD—две секущие к одной окружности. Требуется:

1) определить CD, если МВ= 1 м, MD = 15 дм и CD = MA;

2) определить MD, если MA =18 см, АВ=12 см и MC:CD = 5:7;

3) определить АВ, если АВ= МС,  МА = 20 и CD= 11.

25. Две хорды продолжены до взаимного пересечения. Определить длину полученных продолжений, если хорды равны а и b, а их продолжения относятся, как т : п.

26. Из одной точки проведены к окружности секущая и касательная. Определить длину касательной, если внешний и внутренний отрезки секущей соответственно выражаются следующими числами: 1) 4 и 5; 2) 2,25 и 1,75; 3) 1 и 2.

27. Касательная равна 20 см, а наибольшая секущая, проведённая из той же точки, равна 50 см. Определить радиус круга.

28. Секущая больше своего внешнего отрезка в 21/4 раза. Во сколько раз она больше касательной, проведённой из той же точки?

29. Общая хорда двух пересекающихся окружностей продолжена, и из точки, взятой на продолжении, проведены к ним касательные. Доказать, что они равны.

30. На одной стороне угла А отложены один за другим отрезки: AВ=6 см и ВС =8 см; а на другой стороне отложен отрезок AD = 10 см. Через точки В, С и D проведена окружность. Узнать, касается ли этой окружности прямая AD, а если нет, то будет ли точка D первой (считая от A) или второй точкой пересечения.

31. Пусть будет: АВ—касательная и ACD—секущая той же окружности. Требуется:

1) определить CD, если АВ = 2 см и AD = 4 см;

2) определить AD, если  AC:CD = 4:5 и АВ=12 см;

3) определить АВ, если AB = CD и АС = а.

32. 1) Как далеко видно с воздушного шара (черт. 16), поднявшегося на высоту 4 км над землёй (радиус земли равен = 6370 км)?


             Черт. 16.                                  Черт. 17.

2) Гора Эльбрус (на Кавказе) поднимается над уровнем моря на 5 600 м. Как далеко можно видеть с вершины этой горы?

3) М — наблюдательный пункт высотой А метров над землёй (черт. 17); радиус земли R, МТ= d есть наибольшее видимое расстояние. Доказать, что d = √2Rh h2  

Замечание. Так как h2 вследствие своей малости сравнительно с 2Rh на результат почти не влияет, то можно пользоваться приближённой формулой d ≈  √2Rh .

33. 1) Касательная и секущая, выходящие из одной точки, соответственно равны 20 см и 40 см; секущая удалена от центра на 8 см. Определить радиус круга.

2) Определить расстояние от центра до той точки, из которой выходят касательная и секущая, если они соответственно равны 4 см и 8 см, а секущая удалена от центра на
12 см.

34. 1) Из общей точки проведены к окружности касательная и секущая. Определить длину касательной, если она на 5 см больше внешнего отрезка секущей и на столько же меньше внутреннего отрезка.

2) Из одной точки проведены к окружности секущая и касательная. Секущая равна а, а её внутренний отрезок больше внешнего отрезка на длину касательной. Определить касательную.

36. Из одной точки проведены к одной окружности касательная и секущая. Касательная больше внутреннего и внешнего отрезков секущей соответственно на 2 см и 4 см. Определить длину секущей.

36. Из одной точки проведены к окружности касательная и секущая. Определить их длину, если касательная на 20 см меньше внутреннего отрезка секущей и на 8 см больше внешнего отрезка.

37. 1) Из одной точки проведены к окружности секущая и касательная. Сумма их равна 30 см, а внутренний отрезок секущей на 2 см меньше касательной. Определить секущую и касательную.

2) Из одной точки проведены к окружности секущая и касательная. Сумма их равна 15 см, а внешний отрезок секущей на 2 см меньше касательной. Определить секущую и касательную.

38. Отрезок АВ продолжен на расстояние ВС. На АВ и АС, как на диаметрах, построены окружности. К отрезку АС в точке В проведён перпендикуляр BD до пересечения с большей окружностью. Из точки С проведена касательная СК к меньшей окружности. Доказать, что CD = СК.

39. К данной окружности проведены две параллельные касательные и третья касательная, пересекающая их. Радиус есть средняя пропорциональная между отрезками третьей касательной. Доказать.

40. Даны две параллельные прямые на расстоянии 15 дм одна от другой; между ними дана точка М на расстоянии 3 дм от одной из них. Через точку М проведена окружность, касательная к обеим параллелям. Определить расстояние между проекциями центра и точки М на одну из данных параллелей.

41. В круг радиуса r вписан равнобедренный треугольник, у которого сумма высоты и основания равна диаметру круга. Определить высоту.

42. Определить радиус круга, описанного около равнобедренного треугольника: 1) если основание равно 16 см, а высота 4 см; 2) если боковая сторона равна 12 дм, а высота 9 дм; 3) если боковая сторона равна 15 м, а основание 18 м.

43. В равнобедренном треугольнике основание равно 48 дм, а боковая сторона равна 30 дм. Определить радиусы кругов, описанного и вписанного, и расстояние между их центрами.

44. Радиус равен r, хорда данной дуги равна а. Определить хорду удвоенной дуги.

45. Радиус окружности равен 8 дм; хорда АВ равна 12 дм. Через точку А проведена касательная, а из точки В—хорда ВС, параллельная касательной. Определить расстояние между касательной и хордой ВС.

46. Точка А удалена от прямой MN на расстояние с. Данным радиусом r описана окружность так, что она проходит через точку А и касается линии MN. Определить расстояние между полученной точкой касания  и данной точкой А.

ОТВЕТЫ

 

Сайт создан в системе uCoz