ВЫЧИСЛЕНИЕ ДЛИНЫ ОКРУЖНОСТИ И ЕЁ ЧАСТЕЙ.

12.  (226.) Предварительное разъяснение. Отрезок прямой можно сравнить с другим отрезком прямой, принятым за единицу, так как прямые линии при наложении совмещаются. Действительно, только по этой причине мы можем установить, какие отрезки прямых считать равными и неравными; что такое сумма отрезков прямой; какой отрезок больше другого в 2, 3, 4, ... раза и т. п. Точно так же дуги окружностей одинакового радиуса можно сравнить между собой вследствие того, что такие дуги при наложении  совмещаются. Но так как  никакая часть окружности (или другой кривой) не может совместиться с прямой, то нельзя путём наложения установить, какой криволинейный отрезок должно считать равным данному прямолинейному отрезку, а следовательно, и то, какой криволинейный отрезок больше данного прямолинейного в 2, 3, 4, ... раза. Таким образом, является необходимость особо определить, что мы будем   подразумевать   под   длиной   окружности   (или части её), когда сравниваем её с прямолинейным отрезком.

Для этой цели мы должны ввести новое понятие, имеющее исключительно большое значение во всей математике, именно понятие о пределе.

Предел числовой последовательности.

13.   (227.) Во многих вопросах алгебры и геометрии приходится встречаться с последовательностями чисел,  написанных одно за другим  по  определённому  закону.  Например,  натуральный ряд чисел:

1, 2, 3, 4, 5, ....

арифметическая и геометрическая прогрессии, продолженные неограниченно:

а, а + d, a + 2d, a + 3d, ...,
а, аd, аd², аd³, ...,

представляют собой бесконечные последовательности чисел,  или бесконечные числовые последовательности.

Для каждой такой последовательности можно указать правило, по которому составляются её члены. Так, в арифметической прогрессии каждый член разнится от предыдущего на одно и то же число, в геометрической прогрессии каждый член равен предшествующему, умноженному на некоторое определённое число (знаменатель прогрессии).

Многие последовательности составляются по более сложным правилам. Так, например, вычисляя √2  с недостатком сначала с точностью до 0,1, затем с точностью до 0,01, затем с точностью до 0,001 и продолжая это вычисление неограниченно, мы получим бесконечную числовую последовательность:

1,4; 1,41; 1,414; 1,4142.....,

дающую приближённое значение √2  с возрастающей степенью точности.

Для этой последовательности нельзя указать простого правила, по которому можно было бы получить новые её члены, зная предыдущие, но всё же можно определить любой член этой последовательности. Так, чтобы получить 4-й её член, нужно вычислить √2  с точностью до 0,0001, для получения 5-го члена нужно вычислить √2  с точностью до 0,00001 и т. д.

Допустим, что члены данной бесконечной последовательности a₁,a₂, a₃,...a_n,... по мере повышения их номера неограниченно приближаются к некоторому числу А. Это значит следующее: существует некоторое число А такое, что, какое бы малое положительное число q мы ни взяли, в данной последовательности можно отыскать член, начиная с которого все члены последовательности по абсолютной величине отличаются от А меньше, чем на q. Мы будем это свойство коротко выражать так: абсолютная величина разности а_п — А неограниченно убывает с возрастанием номера п.

В этом случае число А называется пределом данной бесконечной числовой последовательности. Приведём пример такой последовательности.  Составим последовательность десятичных дробей:

0,9;   0,99;   0,999; ... .

Здесь каждый член получается из предыдущего приписыванием нового десятичного знака 9.

Легко заметить, что члены этой последовательности неограниченно приближаются к единице.

Именно, первый член отличается от единицы на 0,1, второй на 0,01, третий на 0,001, и если достаточно продолжить эту последовательность, то можно найти в ней член, начиная с которого все последующие члены будут отличаться от единицы на сколь угодно малую, заранее указанную величину. Следовательно, мы можем cказать, что взятая нами бесконечная числовая последовательность имеет пределом единицу. Другим примером числовой последовательности, имеющей предел, служит последовательность приближённых значений длины отрезка, несоизмеримого с единицей длины, вычисленных с недостатком, сначала с точностью до 0,1, затем — до 0,01, затем — до 0,001 и т. д.

Пределом этой последовательности служит бесконечная десятичная дробь, представляющая точную меру длины данного отрезка. В самом деле, величина бесконечной десятичной дроби заключена между двумя её приближёнными значениями, вычисленными с одинаковой  точностью — одно  с  недостатком,   другое  с  избытком.

Как было показано выше, эта разность неограниченно убывает по мере повышения степени точности приближённых значений. Следовательно, должна неограниченно убывать и разность между самой бесконечной десятичной дробью и её приближёнными значениями по мере повышения степени точности этих значений. Значит, бесконечная десятичная дробь служит пределом последовательности всех её приближённых значений, взятых с недостатком (или всех приближённых значений, взятых с избытком).

Легко заметить, что не всякая бесконечная последовательность имеет предел; например, натуральный ряд чисел:

1, 2, 3, 4, 5.....

очевидно, никакого предела не имеет, так как его члены неограниченно возрастают и ни к какому числу не приближаются.

14.    (228.)   Теорема.   Всякая   бесконечная   числовая последовательность может иметь только один предел.

В справедливости этой теоремы легко убедиться доказательством от противного. В самом деле, предположим, что дана последовательность

a₁,a₂, a₃,...a_n,...,

которая имеет два различных предела А и В. В таком случае, в силу того, что А есть предел данной последовательности, абсолютная величина разности a_n — А должна неограниченно убывать с возрастанием п. В силу того, что В есть тоже предел данной последовательности, абсолютная величина разности a_n — В также должна неограниченно убывать с возрастанием п.

Но в таком случае абсолютная величина разности

(a_n — А) — (a_n — В)

должна также или неограниченно убывать, или быть равной нулю. Но эта последняя разность равна разности чисел В — A и, следовательно, есть некоторое вполне определённое, отличное от нуля число. Это число не зависит от номера п и при возрастании  п вовсе не изменяется. Таким образом, предположение, что существуют два предела числовой последовательности, привело нас к противоречию.

15.  (229.) Предел  возрастающей  бесконечной  числовой  последовательности.   Рассмотрим такую  последовательность  a₁,a₂, a₃,...a_n,...,  в   которой   каждый    следующий    член    больше предыдущего, т. е. a_n+1 > a_n, и в то же время все члены последовательности меньше некоторого определённого числа М, т. е. для любого номера п
 a_n < М.

В этом случае последовательность имеет определённый предел. (Теорема Вейерштрасса).

16.  (231.) Предел переменной величины.   Если дана последовательность

a₁,a₂, a₃,...a_n,...,

то п-й член её a_n можно назвать переменной величиной, числовое значение которой зависит от её номера п. Этим выражением «переменная величина» часто пользуются для упрощения речи. Так, вместо выражения "дана бесконечная числовая последовательность a₁,a₂, a₃,...a_n,..." принято говорить "дана переменная величина a_n, принимающая последовательно ряд значений a₁,a₂, a₃,...". Если пользоваться этим способом выражения, то можно говорить не о пределе последовательности,  а о пределе переменной величины.

В таком случае, предложение, доказанное в § 14 (228), можно высказать в форме: «Всякая переменная величина может стремиться лишь к одному пределу». Это предложение часто высказывают так: «Если даны две переменные величины a_n и b_n, причём все значения первой равны соответствующим значениям второй: a₁ = b₁, a₂ = b₂, ..., a_n = b_n, то предел первой величины, конечно, если он существует, равен пределу второй», или короче: «Если две переменные величины равны, то равны и их пределы».

Предложение (§ 15) о пределе возрастающей числовой последовательности можно высказать так: если переменная величина а_n возрастает с возрастанием номера п и в то же время остаётся меньше некоторого постоянного числа, то эта переменная  величина имеет предел.

Длина окружности.

17.   (232.) Понятие о пределе даст возможность точно определить, что мы подразумеваем под длиной окружности.  Предварительно   докажем   следующие   леммы.

Лемма 1. Выпуклая ломаная (ABCD, черт. 18) меньше всякой другой ломаной (AEFGD), объемлющей первую.

Выражения «объемлющая ломаная», «объемлемая ломаная» имеют следующий смысл. Пусть две ломаные (как те, которые изображены у нас на чертеже) имеют одни и те же концы А и D и расположены таким образом, что одна ломаная (ABCD) вся лежит внутри многоугольника, образованного другой ломаной и отрезком AD, соединяющим концы А и D; тогда внешняя ломаная называется объемлющей, а внутренняя ломаная — объемлемой.

Предстоит доказать, что объемлемая ломаная ABCD (если она выпуклая) короче всякой объемлющей линии AEFGD (все равно — выпуклой или невыпуклой), т. е. что

АВ + ВС + CD < АЕ + EF + FG + GD.

Продолжим стороны выпуклой ломаной так, как указано на чертеже. Тогда, приняв во внимание, что отрезок прямой меньше всякой ломаной, соединяющей концы отрезка, мы можем написать следующие неравенства:

АВ + ВН < АЕ + ЕН;

ВС + СК< ВН + HF + FG + GK;

CD < CK + KD.

Сложим почленно все эти неравенства и затем от обеих частей полученного неравенства отнимем вспомогательные отрезки ВH и СК, далее, заменив сумму EH + HF отрезком EF и сумму GK + KD — отрезком GD, получим то неравенство, которое требовалось доказать.

Замечание. Если бы объемлемая линия не была выпуклой (черт. 19), то изложенное доказательство нельзя было бы применить. В этом случае объемлемая ломаная может оказаться и больше объемлющей.

18. (233.) Лемма 2. Периметр выпуклого многоугольника (ABCD) меньше периметра всякого другого многоугольника (MNPQRL), объемлющего первый (черт. 20).

Требуется доказать, что

АВ + ВС + CD + DA < LM + MN + NP + PQ + QR + RL.

Продолжив в обоих направлениях одну какую-нибудь сторону AD выпуклого многоугольника, применим к ломаным линиям ABCD и ATMNPQRSD, соединяющим точки А и D, лемму предыдущего параграфа; получим неравенство:

АВ + ВС + CD < AT + TM + MN + NP + PQ+ QR + RS + SD.

С другой стороны, так как отрезок ST меньше ломаной SLT, то можем написать:

ТА + AD + DS < TL + LS.

Сложим почленно эти два неравенства и отнимем от обеих частей вспомогательные отрезки AT и DS; далее, заменив сумму TL + ТМ отрезком LM и сумму LS + RS отрезком LR, получим то, что требовалось доказать.

19. (234.) Определение длины окружности. Впишем в данную окружность (черт. 21) правильный многоугольник, например шестиугольник, и на какой-нибудь прямой MN (черт. 22) отложим отрезок ОP₁ равный периметру этого шестиугольника (на нашем чертеже периметр изображён по недостатку свободного места в уменьшенном виде).

Удвоим теперь число сторон вписанного шестиугольника, т. е. вместо шестиугольника возьмём правильный вписанный 12-угольник. Найдём также его периметр и отложим его на той же прямой MN от той же точки О; пусть тогда получится отрезок ОP₂, который должен быть больше ОP₁ так как вместо каждой стороны шестиугольника мы теперь берём ломаную (из двух сторон 12-угольника), которая длиннее прямой. Удвоим снова число сторон вписанного 12-угольника, т. е. возьмём теперь правильный 24-угольник (на чертеже он не указан), найдём его периметр и отложим его на MN от той же точки O; мы получим тогда отрезок ОP₃, который будет больше ОP₂ по той же причине, по какой ОP₂ больше ОP₁.

Вообразим, что такой процесс удвоения и откладывания периметров продолжается всё далее и далее. Тогда мы получим бесконечную последовательность периметров
ОP₁, ОP₂, ОP₃, ... которая является возрастающей последовательностью. Однако возрастание это не может быть неограниченным, так как периметр всякого вписанного многоугольника (выпуклого), каково бы ни было число его сторон, всегда остаётся меньше периметра любого описанного многоугольника (как его объемлющего). Вследствие этого полученная последовательность периметров правильных вписанных многоугольников имеет определённый предел (§ 15). Этот предел и принимают за длину окружности. Таким образом, мы принимаем следующее определение: за длину окружности принимается тот предел, к которому стремится (приближается) переменный периметр правильного многоугольника, вписанного в эту окружность, когда число сторон его неограниченно удваивается.

Замечание.    Можно доказать (мы опускаем это доказательство), что предел   этот   не   зависит   от   того,  с   какого   многоугольника   мы   начинаем удвоение. Более того, можно доказать, что если даже вписанные многоугольники и не будут правильные, все же периметры их стремятся к тому же самому пределу, как и периметры правильных многоугольников, лишь бы только стороны их неограниченно уменьшались (и, следовательно, число сторон их неограниченно увеличивалось) путём ли удвоения, как мы это предполагали для правильных многоугольников, или по какому-нибудь иному закону (мы опускаем это доказательство).

Таким образом, для каждой окружности существует свой единственный предел, к которому стремится периметр вписанного выпуклого многоугольника, когда стороны его неограниченно уменьшаются; предел этот и принимается за длину окружности.

Равным образом за длину какой-нибудь дуги окружности АВ (черт. 23) принимается предел, к которому стремится переменный периметр ломаной линии, вписанной в эту дугу и имеющей с ней одни и те же концы, когда число сторон ломаной неограниченно удваивается.

20.  (235.) Допущения.  Для  простоты  изложения  мы   примем без доказательства  следующие,   почти  очевидные,   предложения:

Длина дуги окружности: 1) больше стягивающей её хорды, но 2) меньше периметра всякой ломаной линии, описанной около этой дуги и имеющей с ней одни и те же концы (черт. 24).

21.   Нахождение длины окружности. Для этой цели можно воспользоваться формулой,  выражающей  сторону  (a_n) правильного n - угольника через радиус (R) описанного круга:

a_n = 2R • sin ^180°/_n .

Тогда периметр n-угольника (Р_n) можно выразить в виде формулы:

P_n = a_nn = 2Rn • sin ^180°/_n .

Пользуясь    семизначными    таблицами    синусов    углов,   найдём

 Р₆   = 2R• 6 sin 30° = 2R • 3.
 P_l2  = 2R • 12 sin 15° = 2R • 3,10582...
 Р₂₄  = 2R •  24 sin 7°30' = 2R • 3,13262...
 P₄₈  = 2R • 48 sin 3°45' = 2R • 3,13935...
 Р₉₆  = 2R  •  96 sin 1°52'30" = 2R • 3,14103...
 Р₁₉₂ = 2R • 192 sin 56'15" = 2R • 3,14145...
 Р₃₈₄ = 2R • 384 sin 28'7",5 = 2R • 3,14156....
 

При каждом последующем удвоении числа сторон правильного вписанного многоугольника мы получаем последовательность значений произведения 2Rn • sin ^180°/_n.   Каждый    последующий   член этой последовательности больше предыдущего и в то же время каждый её член меньше некоторого определённого числа. Эта последовательность, как показано в § 19 (234), имеет предел, который и принимают за длину окружности. Таким образом, периметр правильного вписанного многоугольника даёт приближённое значение длины окружности, причём по мере продолжения процесса удвоения числа сторон этого многоугольника точность значения возрастает.

22. (238.) Отношение длины окружности к диаметру. Рассматривая процесс нахождения длины окружности, можно заметить, что число, на которое нужно умножить диаметр, чтобы получить длину окружности, не зависит от величины самого диаметра, так что если мы нашли, что длина какой-нибудь окружности равна её диаметру, умноженному на некоторое число, то и длина всякой другой окружности будет равна её диаметру, умноженному на то же самое число.

В самом деле, возьмём две окружности: одну радиуса R, другую радиуса r. Длину первой окружности обозначим через С, длину второй — через с. Впишем в каждую из них правильный многоугольник с одним и тем же числом сторон и будем удваивать число сторон каждого из этих многоугольников.

Обозначим через Р_п переменный периметр правильного многоугольника, вписанного в первую окружность, и через р_п переменный периметр правильного многоугольника с тем же числом сторон, вписанного во вторую окружность.

На основании   формулы  P_n = 2Rn • sin ^180°/_n , данной в § 21, мы можем    написать:  
.

Переменный периметр Р_n имеет пределом длину С первой окружности. Переменный периметр р_n имеет пределом длину с второй окружности. А   потому из равенства      вытекает   ^C/_2R = ^c/_2r     (§ 14 и 16).
Таким образом, мы можем сказать, что отношение длины окружности к её диаметру есть число постоянное для всех окружностей.

Это постоянное число принято обозначать греческой буквой π . Обозначение это введено, по всей вероятности, в XVII столетии. Буква π  (пи) есть начальная буква греческого слова περιφερεια (окружность).

Мы можем, таким образом, для длины С окружности написать такую формулу:

С = 2R • π,    или    С = 2πR.

Доказано, что число π является числом иррациональным, и, значит, оно не может быть выражено точно никаким рациональным числом. Но его приближённые значения можно находить различными способами с какой угодно точностью. Приняв периметр вписанного 96-угольника за приближённую длину окружности, мы получим для π приближённое значение 3,14 с недостатком и с точностью до 0, 01. Эта точность для практических целей часто бывает достаточна. Для более точных вычислений можно брать
π ≈ 3,14159.

Пользуясь современными вычислительными машинами, нашли более 3000 знаков числа π.

Полезно заметить, что еще в III веке до начала нашей эры знаменитый сиракузский геометр Архимед нашёл для π очень простое число²²/₇ т. е. 3 ¹/₇. Это число несколько более π и разнится от него менее чем на 2 тысячных.

При решении геометрических задач часто встречается число, обратное числу π, т. е. равное дроби  ¹/_π. Полезно запомнить  несколько цифр этого числа:

¹/_π = 0,3183098 ...

23.  (239.) Длина дуги, содержащей п градусов. Длина окружности есть 2πR, значит, длина дуги в 1° равна  ^2πR/₃₆₀ = ^πR/₁₈₀;    следовательно, длина s дуги, содержащей п°, выразится так:

s = ^πRn/₁₈₀

Если дуга выражена в минутах (') или в секундах ("), то длина её определяется соответственно формулами:

s = ^πRn/_180•60   или    s = ^πRn/_{180•60 •60} ,

где п — число минут или секунд.

24.   (240.) Задача. Вычислить с точностью до 1 мм радиус такой окружности, дуга которой,   содержащая 81°21'36", равна 0,452 м.

Обратив 81°21'36" в секунды, получим число 292 896. Из уравнения

0, 452 = ^πR•292896/_{180•60 •60}

находим:

R = ^{0,452•180•60•60}/_292896π = ¹/_π = 0,318 (м)

25.   (241.)    Задача.    Определить число градусов дуги, длина которой равна радиусу.

Заменив в формуле, определяющей длину дуги в п°, величину s на R, получим уравнение:

R = ^πRn/₁₈₀,   или  1 = ^πn/₁₈₀,

откуда

п° = ^180°/_π = 180° • ¹/_π = 180° • 0,3183098 = 57°295764 = 57°17'44",8.

Заметим, что дуга, равная радиусу, называется радианом.

ПЛОЩАДЬ   КРУГА   И   ЕГО   ЧАСТЕЙ.

26.  (262.) Лемма. При неограниченном удвоении числа сторон правильного вписанного многоугольника сторона его может сделаться как угодно малой.

Пусть п есть число сторон правильного вписанного многоугольника и р — его периметр; тогда длина одной стороны этого многоугольника выразится дробью ^p/_n. При  неограниченном удвоении числа сторон многоугольника знаменатель этой дроби будет, очевидно, возрастать неограниченно, а числитель, т. е. р, хотя и будет возрастать, но не беспредельно (так как периметр всякого вписанного выпуклого многоугольника всегда остаётся меньшим периметра любого описанного многоугольника). Если же в какой-нибудь дроби знаменатель неограниченно возрастает, а числитель остаётся меньше некоторой постоянной величины, то дробь эта может сделаться как угодно малой. Значит, то же самое можно сказать о стороне правильного вписанного многоугольника: при неограниченном удвоении числа сторон она может сделаться как угодно малой.

27.   (263.) Следствие.   Пусть АВ (черт. 25) есть сторона правильного вписанного многоугольника, ОА — радиус и ОС — апофема. Из  /\ ОАС находим:

АО — ОС< АС,    т. е.

АО — ОС<  ¹/₂AB.

Но при неограниченном удвоении числа сторон правильного вписанного многоугольника сторона его, как мы сейчас доказали, может сделаться как угодно малой, значит, то же самое можно сказать и о разности АО — ОС. Таким образом, при неограниченном удвоении числа сторон правильного вписанного многоугольника разность между радиусом и апофемой может сделаться как угодно малой. Это же можно высказать другими словами так: при неограниченном удвоении числа сторон правильного вписанного многоугольника предел, к которому стремится апофема, есть радиус.

28.  (264.) Площадь круга. Впишем в круг, радиус которого обозначим R, какой-нибудь правильный многоугольник. Пусть

 площадь этого многоугольника будет q,
 периметр       »           »             »           р,
 апофема         »           »             »           а.

По формуле вычисления площади правильного многоугольника имеем:

q =  ¹/₂ pa.

Вообразим теперь, что число сторон этого многоугольника неограниченно удваивается. Тогда периметр р и апофема а (следовательно, и площадь q) будут увеличиваться, причём периметр будет стремиться к пределу, принимаемому за длину С окружности, апофема будет стремиться к пределу, равному радиусу R круга. Из этого следует, что площадь многоугольника, увеличиваясь при удвоении числа сторон, будет стремиться к пределу, равному  ¹/₂ С • R. Предел этот принимается за численную величину площади круга. Таким образом, обозначив площадь круга буквой К, можем написать:

K = ¹/₂ С • R,

т. е. площадь круга равна половине произведения длины окружности на радиус.

Так как С = 2πR, то

К = ¹/₂ • 2πR • R = πR²,

т. е. площадь круга равна квадрату радиуса, умноженному на отношение длины окружности к диаметру.

29.   (265.)  Следствие.   Площади  кругов   относятся, как квадраты радиусов или диаметров.

Действительно, если K и K₁ будут площади двух кругов, a R и R₁ — их радиусы, то

K =  πR²    и    K₁ =  πR₁² ,

откуда

30.   (266.)   Зада.ча   1.   Вычислить  площадь   круга,    длина окружности которого равна 2 м.

Для этого предварительно находим радиус R из равенства:

2πR = 2, откуда   R = ¹/_π  = 0,3183...   .

Затем определим площадь круга:

K = πR² = π(  ¹/_π )²=  ¹/_π = 0,3183 ... м² .

31.   (267.) Задача  2.     Построить  квадрат,  равновеликий данному кругу.

Эта задача, известная под названием квадратуры к р у г а, не может быть решена при помощи циркуля и линейки. Действительно, если обозначим буквой х сторону искомого квадрата, а буквой R радиус круга, то получим уравнение:

х²  = πR² ,

откуда

πR : х = х : R,

т. е. х есть средняя пропорциональная между полуокружностью и радиусом. Следовательно, если известен отрезок, длина которого равна длине полуокружности, то легко построить квадрат, равновеликий данному кругу, и, обратно, если известна сторона квадрата, равновеликого кругу, то можно построить отрезок, равный по длине полуокружности. Но с помощью циркуля и линейки нельзя построить отрезок, длина которого равнялась бы длине полуокружности; следовательно, нельзя в точности решить задачу о построении квадрата, равновеликого кругу. Приближённое решение можно выполнить, если предварительно найти приближённую длину полуокружности и затем построить среднюю пропорциональную между отрезком этой длины и радиусом.

32.  (268.) Теорема. Площадь сектора равна произведению длины его дуги на половину радиуса.

Пусть дуга АВ (черт. 26) сектора АОВ содержит п°. Очевидно, что площадь сектора, дуга  которого  содержит   1°,   составляет   ¹/₃₆₀  часть площади круга, т. е. она равна
. Следовательно, площадь S сектора, дуга которого содержит п°, равна:

Так как дробь — выражает длину дуги АВ (§ 23), то, обозначив её буквой s, получим:

S= s • ^R/₂

33. (269.) Площадь сегмента. Для нахождения площади сегмента, ограниченного дугой s и хордой АВ, надо отдельно вычислить площадь сектора AOBsA и площадь треугольника АОВ. Затем из площади сектора AOBsA вычесть площадь треугольника АОВ, если дуга сегмента меньше 180°. Если же дуга сегмента больше 180°, то к площади сектора AOBsA надо прибавить площадь треугольника АОВ (черт. 26 и 27).

§ 15. Длина окружности и дуги. Площадь круга и его частей .

Длина окружности и дуги.

1. Вычислить длину окружности, если радиус равен: 1) 10 м; 2) 15 м; 3) 35 см.

2. Вычислить радиус, если длина окружности равна: 1) 1 м; 2) 25 см; 3) 4,75 дм.

3. Расстояние между серединами двух зубцов зубчатого колеса, имеющего 0,66 м в диаметре, равно 34,5 мм, считая по дуге. Сколько зубцов имеет колесо?

4. Шкив имеет в диаметре 1,4 м и делает 80 оборотов в минуту. Определить скорость точки, лежащей на окружности шкива.

5. По данному радиусу R определить длину дуги, содержащей:
1) 45°; 2) 24°30'; 3) 5°14'15".

6. Определить радиус дуги, если её длина равна l, а градусная мера: 1) 135°; 2) 1040'.

7. Окружность шкива (черт. 28) имеет длину 540 мм, ремень касается шкива по дуге длиной 200 мм. Определить угол обхвата шкива ремнём (α).

Черт. 28.

8. Радиус железнодорожного закругления равен 1200 м; длина дуги равна 450 м. Сколько градусов содержит дуга?

9. 1) Окружность радиуса 2 см разогнута в дугу радиуса 5 см. Найти получившийся центральный угол.

2) Дуга радиуса 4 см, измеряющая центральный угол в 120°, равна длине некоторой окружности. Найти радиус этой окружности.

3) Окружность радиуса 6 см разогнута в дугу, измеряющую центральный угол в 300°. Найти радиус дуги.

10. Определить число градусов дуги, если дан её ра диус R и длина l:
1) R = 10, l = 45; 2) R=15, l = 6.

11. Сколько градусов и минут в дуге, длина которой равна радиусу(¹/_π = 0,31831)?

12. По данной хорде а определить длину её дуги, если она содержит:
1) 60°; 2) 90°; 3) 120°.

13. По данной длине дуги  l  определить её хорду, если дуга содержит:
1) 60°; 2) 90°; 3) 120°.

14. Определить радиус окружности, если она длиннее своего диаметра на 107 см.

15. 1) На сколько увеличится длина  окружности, если радиус увеличится на m ?

2) Вообразим, что земной шар обтянут по экватору обручем и что подобным же образом обтянут и футбольный мяч по его большому кругу. Далее, вообразим, что окружность каждого обруча удлинилась на 1 м. Тогда обручи отстанут от поверхности тел, которые они раньше стягивали, и останется некоторый прозор (промежуток). В каком случае этот прозор был бы больше: у земного шара или мяча?

16. 1) Железная труба со стенками толщиной в 6 мм имеет внешнюю окружность в 22 см. Найти длину внутренней окружности.

2) Из двух концентрических окружностей одна равна 167 см, а другая 117 см. Определить ширину кольца.

17. Определить длину окружности, если она более периметра правильного вписанного шестиугольника на 7 см.

18. Дуга сегмента содержит 120° и имеет длину l. Определить длину окружности, вписанной в этот сегмент.

19. Из концов дуги ABC, содержащей 120°, проведены касательные до взаимного пересечения в точке D, и в полученную фигуру ABCD вписана окружность. Доказать, что длина этой окружности равна длине дуги ABC.

20. На чертеже 29 даны вид и размеры в сантиметрах коленчатой трубы паровой машины. Найти её длину. (Её длина измеряется по средней пунктирной линии.)

Черт. 29

21. Найти радиус такой окружности, длина и площадь круга которой выражаются одним и тем же числом.

22. Определить относительную погрешность при замена длины полуокружности ¹/₂ С через a₃ + a₄ (для приближённого спрямления окружности).

23. Одно из приближённых спрямлений окружности состоит в том, что её заменяют периметром прямоугольного треугольника, у которого один катет  равен ⁶/₅ диаметра, другой    катет    составляет  ³/₅ диаметра. Определить абсолютную погрешность.

Площадь круга.

24. Определить площадь круга при следующей   длине   радиуса:   
1)   10 м;  2) 4 дм; 3) 2,6 см (взять π =3,14).

25. Определить радиус   круга,   если его площадь равна: 1) 2 см²; 2) 50 м²; 3) 17 дм².

26. Лошадь привязана к колу верёвкой, длина которой равна 10,5 м. Найти площадь участка, на котором она может пастись. (С точностью до 0,01 кв. м.)

27. Найти площадь круга поршня  воздушного насоса, диаметр которого равен 10 см.

28. Поршень насоса имеет площадь сечения в 12,56 см². Найти диаметр поршня.

29. Дерево имеет 1,884 м в обхвате. Чему равна площадь его поперечного сечения, имеющего (приблизительно) форму круга?

30. Какой груз выдерживает пеньковый канат, имеющий 18 см в окружности, если допускаемая нагрузка равна 100 кг\см²

31. 1) Определить площадь круга, если длина окружности равна 8 см.

1) Определить длину окружности, если площадь круга равна 18 см².

32. 1)  Пропускная  способность  трубы III (черт.  30) та же, что и у труб I и II вместе. Определить построением   величину  x по данным на чертеже размерам.

Черт. 30.

2) Две трубы с диаметром в 6 см и в 8 см требуется заменить одной трубой той же пропускной способности. Найти диаметр этой трубы.

33. Определить площадь круга, если площадь вписанного квадрата равна F.

34. Вычислить площадь круга, если она менее площади описанного квадрата на 4,3 м².

35. Найти отношение между площадями вписанного и описанного кругов: 1) для правильного треугольника; 2) для квадрата; 3) для правильного шестиугольника.

Площадь кольца.

36. Вертикальный цилиндрический котёл 78 см в диаметре и весящий 752 кг имеет в днище круглое отверстие, наружный диаметр которого равен 36 см. Всей площадью своего днища котёл опирается на фундамент. Определить давление, оказываемое котлом вследствие его тяжести на 1 см² поверхности фундамента.

37. В кольце, образованном двумя концентрическими окружностями, хорда большей окружности, касающаяся меньшей, равна а. Определить площадь кольца.

38. Круга касаются шесть равных ему кругов, касающихся также между собой, и полученное соединение семи равных кругов охвачено таким концентрическим кольцом, которое равновелико их сумме. Доказать, что ширина кольца равна радиусу кругов.

Сектор и сегмент.

39. Определить площадь сектора, если радиус равен r, а дуга содержит:
1) 67°30'; 2) 15°45'.

40. Определить радиус сектора, если его площадь равна q, а центральный угол равен: 1) 72°; 2) 36'.

41. Радиус сектора равен r, а площадь равна q. Определить величину центрального угла (или дуги).

42. Определить площадь сегмента, если радиус равен R, а дуга содержит: 1) 90°; 2) 60°; 3) 45°; 4) 30°.

43. Определить площадь сегмента, если хорда равна а, а дуга содержит: 1) 120°; 2) 90°; 3) 60°.

Площадь фигур, ограниченных прямыми и дугами окружностей.

44. Определить площадь окна (черт. 31), имеющего форму прямоугольника, законченного вверху дугой круга в 60°; высота окна, считая от середины дуги до основания, равна 2,4 м, ширина его 1,6 м.

Черт. 31

45. 1) Полуокружность радиуса r разделена на три равные части, и точки деления соединены с концом диаметра. Определить площадь средней части полукруга.

2) Концы дуги CD одинаково удалены соответственно от концов диаметра АВ. Определить площадь, заключённую между дугой CD и хордами АС и AD, если площадь круга равна Q и дуга CD содержит п°.

46. В круге радиуса R проведены по одну сторону центра две параллельные хорды, из которых одна стягивает дугу в 120°, а другая в 60°. Определить часть площади круга, заключённую между хордами.

47. Общая хорда двух пересекающихся окружностей равна а и стягивает в одном круге дугу в 60°, а в другом— дугу в 90°. Определить площадь общей части кругов (два случая).

48. Площадь круга Q. Определить площадь вписанного в него прямоугольника, стороны которого относятся, как т : п.

49. В круг радиуса R вписан прямоугольник, площадь которого составляет половину площади круга. Определить стороны этого прямоугольника.

50. Около круга, площадь которого равна Q, описан ромб с углом в 30°. Определить площадь этого ромба.

51. Около правильного треугольника с площадью Q описана окружность, и в тот же треугольник вписана окружность. Определить площадь кольца, заключённого между этими окружностями.

52. АМВ—дуга, содержащая 120°; OA и ОВ—радиусы; АС и ВС—касательные; DME—дуга, описанная из центра С между СА и СВ и касающаяся дуги АМВ. Найти отношение между площадями секторов CDME и ОАМВ.

53. Из концов дуги АСВ проведены касательные до пересечения в точке D. Определить площадь DACB, заключённую между двумя касательными и дугой, если радиус равен R, а дуга содержит: 1) 90°; 2) 120°; 3) 60°.

54. Из центра равностороннего треугольника описана окружность, пересекающая его стороны так, что внешние дуги содержат по 90°. Обозначая сторону этого треугольника через а, определить площадь, ограниченную внутренними дугами и средними отрезками сторон.

55. 1) Во сколько раз увеличится площадь круга, если диаметр его увеличить в 3 раза? Во сколько раз площадь уменьшится, если радиус уменьшить в 5 раз?

2) Во сколько раз надо уменьшить радиус круга, чтобы площадь уменьшилась в 4 раза? Во сколько раз надо увеличить диаметр круга, чтобы площадь увеличилась в 5 раз?

56. Можно ли водопроводную трубу диаметром в 50 мм заменить двумя трубами диаметром в 25 мм каждая? Одинакова ли площадь сечения одной большой трубы и двух малых?

57. Вычислить площадь заштрихованной части прямоугольника, данного
на чертеже 32.

Черт. 32.

58. Определить площадь фигур, заштрихованных на чертежах 33 — 36, по данным размерам.

Черт. 33                  Черт.34

Черт.35                                             Черт.36

59. Два равных полукруга наложены так, что диаметры их параллельны, а полуокружность одного проходит через центр другого. Определить площадь общей части полукругов по данному их радиусу R.

60. На каждой стороне квадрата, принятой за диаметр, описана полуокружность, лежащая внутри квадрата. Определить площадь полученной розетки, если стороны квадрата равны а.

61. На сторонах ромба описаны, как на диаметрах, полуокружности, обращенные внутрь. Диагонали ромба равны а и b. Определить площадь полученной розетки.

62. Диаметр разделён на равные части, из обоих его концов проведены полуокружности во все точки деления, причём из одного конца все полуокружности сверху, а из другого все снизу. Доказать, что полученными изогнутыми линиями круг разделился на части равной величины, а периметр каждой части равен длине окружности.

63. В равностороннем треугольнике проведены дуги между каждыми двумя вершинами через центр треугольника (черт. 37). Сторона треугольника равна а. Определить площадь полученной розетки.

Черт. 37                                                       Черт. 38

64. Между точками А и В проведены две дуги, обращенные выпуклостью в одну сторону: дуга АМВ содержит 240° и дуга ANB 120°. Расстояние между серединами этих, дуг равно а. Определить площадь луночки (черт. 38).

65. АВ и CD— два взаимно перпендикулярных диаметра. Из точки D, как из центра, радиусом DA описанa дуга АМВ. Доказать, что луночка АМВС равновелика треугольнику ABD.

66. Из точки С данной полуокружности опущен перпендикуляр CD на диаметр АВ, и на отрезках AD и DB построены новые полуокружности по одну сторону с данной. Доказать, что площадь, заключённая между тремя полуокружностями, pавна площади круга с диаметром CD.

67. Вычислить площадь фигуры, заштрихованной на чертеже 39. Размеры даны в миллиметрах.

Черт. 39

68. Вычислить площадь сечения, изображённого на чертеже 40. Размеры даны в миллиметрах.

Черт. 40                                                          Черт. 41

69. Определить площадь поперечного сечения фасонного железа, изображённого на чертеже 41.

70. Две параллельные хорды равны 15 м и 40 м, а расстояние между ними 39 м. Определить площадь круга.

71. Определить радиус круга, вписанного в данный сектор, если радиус сектора равен R, а дуга содержит α градусов [α равно: 1) 60°; 2) 90°; 3) 120°].

ОТВЕТЫ